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高中数学教案模板样式共1
第十四教时
教材： 苏大《教学与测试》P13-16第
七、第八课
目的： 通过教学复习含绝对值不等式与一元二次不等式的解法，逐步形成教熟练的技巧。 过程：
一、复习：1.含绝对值不等式式的解法：（1）利用法则；
（2）讨论，打开绝对值符号
2．一元二次不等式的解法：利用法则（图形法）
二、处理苏大《教学与测试》第七课 — 含绝对值的不等式
《课课练》P13 第10题：
设A=???(a?1)2(a?1)2??
?xx???B={x|2≤x≤3a+1}是否存在实数a的值，分别使得：(1) A
?22?∩B=A ?
解：∵?(a?1)2(a?1)2(a?1)2
2?x?2?2∴ 2a≤x≤a2+1
∴ A={x|2a≤x≤a2+1}
(1) 若A∩B=A则A?B∴ 2≤2a≤a2+1≤3a+1? 1≤a≤3
(2) 若A∪B=A则B?A
∴当B=?时 2>3a+1? a\n
当B??时 2a≤2≤3a+1≤a2+1无解
∴ a\n
三、处理《教学与测试》第八课 — 一元二次不等式的解法
《课课练》 P19 “例题推荐”3
关于x的不等式x2?kx?k
x2?x?3?3对一切实数x恒成立， 求实数k的取值范围。
解：∵ x2?x+3>0恒成立∴ 原不等式可转化为不等式组：
???2x2??k?3?x?9?k?0
??k?3?x?9?k?0由题意上述两不等式解集为实数
?4x2?
(2)A∪B=A
2??9?k?7???1??k?3??8?9?k??0?∴ ??5?4?k?7 ?25?4?k?5?4???????k?3?169?k?0??2
即为所求。
四、作业：《教学与测试》第
七、第八课中余下部分。
高中数学教案模板样式共2
高中数学教案:不等式的证明
教学目标
1。掌握分析法证明不等式；
2。理解分析法实质——执果索因；
3。提高证明不等式证法灵活性.
教学重点 分析法
教学难点 分析法实质的理解
教学方法 启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评。
（学生活动）回答和思考教师提出的问题。
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？ ［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：
[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法。（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法。指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处， 激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式。
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评。帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系。投影分析法证明不等式的概念。
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知。
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式。
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？bet365备用器
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立。就是分析法的逻辑关系。
[投影]分析法证明不等式的概念。（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究。建立新的知识；分析法证明不等式。培养学习创新意识。
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题。
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证。
例1 求证
[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法。
证明：（见课本）
[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难。此例中，我们很难想到从“ ”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些
综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此。
例2 已知： ，求证： （用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？ ［投影］证法一：因为 ，所以、去分母，化为 ，就是 。由已知 成立，所以求证的不等式成立。
证法二：欲证 ，因为 只需证 ， 即证 ， 即证
因为 成立，所以 成立。（证法二正确，证法一错误。错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误。） [点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）
分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反。②用分析法证明时要注意书写格式。分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是： 要证命题B为真，
只需证明 为真，从而有??
这只需证明 为真，从而又有?? ??
这只需证明A为真。
而已知A为真，故命题B必为真。 要理解上述格式中蕴含的逻辑关系。
[投影] 例3 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形边长为 ，截面积为 ，所以本题只需证明：
证明：（见课本）
设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位。掌 握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系。灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。 【课堂练习】bet365备用bd
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正。点评练习中存在的问题。 （学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演。 【字幕】练习1。求证
2。求证：
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学。 【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法。 （学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记。
1。分析法是证明不等式的一种常用基本方法。当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的。
2。用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式。
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法。
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识。 （学生活动）与教师一道小结，并记录笔记。
本节课主要学习了用分析法证明不等式。应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧： 通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等。在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质。另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用。理解分析法和综合法是对立统一的两个方面。有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程。
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识。
（四）布置作业
1。课本作业：P17
4、5。
2。思考题：若 ，求证
3。研究性题：已知函数 ， ，若、，且 证明
设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题。
（五）课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程。本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决。一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务。总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态。本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合。在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化。教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括。在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法。
在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构。 作业答案： 思考题：
。因为 ，故 ，所以 成立。 研究性题：令 ， ，则： ， ，
故原不等式等价于
由已知有 。 。所以上式等价于 ，即 。所以又等价于 。因为 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目：不等式： 是正数，且 ，则 。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即个单位溶液中含有 个单位的溶质，其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。 分析与解
1。先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。
我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。
设地板面积为 平方米，窗户面积为 平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米，住宅的采光条件变好了，即有
2。 是正数，不等式 可以推出 ，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3。电阻串并联。电阻值为、的电阻，串联电阻为 ，并联电阻为 ，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式 ，即
说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。
高中数学教案模板样式共3
过程：
一、复习： 1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；2．常见的排队的三种题型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．3．分类、分布思想的应用．
二、新授：示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？ 解法一：（从特殊位置考虑）A9A9? 解法二：（从特殊元素考虑）若选：5?A9 若不选：A9则共有 5?A9＋A9＝解法三：（间接法）A10?A9?
示例二：⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？ 略解：甲、乙排在前排A4；丙排在后排A4；其余进行全排列A5．
21所以一共有A4A4A5＝5760种方法．
5215⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？ 略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e进行排列有A2；
2 此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有A3；最后将a, “松绑”b有A2．所22以一共有A2A3A2＝24种方法．
222☆⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有A3A3；若第一个为学生则有A3A3 所以一共有2A3A3＝72种方法．
示例三：
⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？
略解：A5?A5?A5?A5?A5?325 ⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？
解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有A3A3种方法；另一类是首位不为1，有A4A4种方法．所以一共有A3A3?A4A4?114个数比13 000大．
解法二：（排除法）比13 000小的正整数有A3个，所以比13 000大的正整数有A5?3A3＝114个．
示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列． ⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？
解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有A5?60个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有A4?12个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．
⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数． 示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴ 能被25整除的数有多少个？
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有A4个，末尾为25的有A3A3个，所以一共有A4＋A3A3＝21个．
注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．
⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有A5A5?300个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数．．．．字比个位数字大的有
A5A5?150个．
2三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．
四、作业：“3＋X”之 排列 练习
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§指数
教学目的：（1）掌握根式的概念；
（2）规定分数指数幂的意义；
（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；
（5）了解无理数指数幂的意义
教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质 教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：
一、引入课题
1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性
2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；
3． 复习初中整数指数幂的运算性质；
Am?an?am?n
(am)n?amn
(ab)n?anbn
4． 初中根式的概念；
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
二、新课教学
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根（n th root），其中n>1，且n∈N． * n当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号a表示．
式子a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）．
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号－a表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±a（a>0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作?0．
思考：（课本P58探究问题）an=a一定成立吗？．（学生活动）
结论：当n是奇数时，an?a
当n是偶数时，an?|a|??
例1．（教材P58例1）．
解：（略）
巩固练习：（教材P58例1）
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定： ?a(a?0) ??a(a?0)
A?am(a?0,m,n?N*,n?1)
A?m
nmn?1
Am
n?1am(a?0,m,n?N*,n?1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（1）a·a?arrr?s
(a?0,r,s?Q)； (a?0,r,s?Q)； (a?0,b?0,r?Q)． （2）(ar)s?ars（3）(ab)r?aras
引导学生解决本课开头实例问题
例2．（教材P60例
2、例
3、例
4、例5）
说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．
巩固练习：（教材P63练习1-3）
4． 无理指数幂
结合教材P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．
指出：一般地，无理数指数幂a(a?0,?是无理数)是一个确定的实数．有理数指数?
幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
思考：（教材P63练习4）
巩固练习思考：：（教材P62思考题）
例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出11升，然后用水填满，再倒出升，33
又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
解：（略）
点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．
三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化
繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．
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高中数学复数教案
教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系； （3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．
教学重点难点：复数的概念，复数相等的充要条件．用复平面内的点表示复数Ｍ．
以及复数的运算法则
教学过程：
一、复习提问：
1．复数的定义。
2．虚数单位。
二、讲授新课
1．复数的实部和虚部：
复数z=a+bi中中的a与b分别叫做复数的实部和虚部
2．复数相等
如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数
复平面的定义:立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．
复数可用点 来表示．其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义：
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数
(1)复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称． 6.复数的四则运算：加减乘除的运算法则。 小结：
1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部；
（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义；
（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应： 3复数的四则运算的规律和方法。
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会泽实验高中
一、背景说明：由于环境原因，许多城市都已实行限量用水。然而，如何做才能真正节约水呢？能节多少水？可以减少家庭多少水费的支出？让学生通过自己的调查和查看水表，了解家中用水的情况，并对采取节水措施前后用水量变化的现象进行分析，利用已有的数学知识进行统计和有关计算。通过讨论找出解决问题的方法。最后，和家人一起制订出一套合适的家庭节水方案。
二、活动的目的与意义：增强学生的节水意识，主动参与意识，保护环境从我做起从身边做起的意识。 参加人员：高二（1）班全体学生
三、课时安排：6---8课时
四、活动过程：
（一）提出问题 引导关注
（提前布置：向家人了解家庭用水情况。）
1、提出问题：
（1）你家几口人？一个月用多少吨水？交多少水费？
（2）为什么每个家庭月用水量不一样？
（3）为什么要节约用水？怎样才能做到节约用水？
（二）展开探究 自主学习
1、设计研究方案
（1）收集、整理需要研究的问题。（减少家庭用水）
（2）共同制定研究问题的方案。
① 通过讨论拟订家庭节水措施。
A、刷牙时关上水龙头。
b、在淋浴中涂肥皂时关上水。
c、安装（或改造成）节水马桶。
d、淘米洗菜用过的水再做它用。
e、把衣服储满后才用洗衣机清洗，清洗衣服后的水再做它用。
f、随时关紧水龙头，安装节水龙头。
② 设计调查表格。
（3）出示水表挂图——复习查看水表的方法。（劳动课已学）
2、实施调查项目 整理调查结果
（1）记录：家中一周用水量（单位：吨）。采取节水措施后，再记录家中一周用水量。
注意：调查期间，除节水措施外，其它条件不要发生变化。
（2）计算：节水前后家中用水量的变化。如果水费价格为元/吨，你们家一月可节约水费多少元？一年可节约水费多少元？将计算结果告诉父母及同学。 （3）作图：将节水前后的家中用水量及水费的变化，用条形统计图或折线统计图来表示。张贴在教室里。 （4）分析、比较调查结果。
（5）得出结论：采取节水措施后，减少了家庭用水。
3、了解水资源现状 进一步提高节约用水的意识 （1）播放资料：地球上水资源分布状况。 我国各大城市水资源现状。 马鞍山市城市居民用水的来源。 （2）讨论：
①地球是个水球有70%的水域面积，为什么说可供人类饮用的水十分有限？
②人类的活动对自然界水域的水质有哪些影响？
③了解马鞍山市水价调整情况，国家有关水的政策、法令等资料。 （4）思考；了解了水资源的现状后，你什么打算？
如果是从我做起，你能作些什么？
（三）实践应用 深化拓展
1、制订家庭节水方案：根据你家实际情况和家人一起制订一套适合的家庭节水方案。
2、集体交流：在全班交流各自的节水措施及活动体会。
3、综合分析，达成共识，再次制订适合多数家庭的节水措施。向全校师生发出实施家庭节水的倡议，并将倡议书张贴在社区。号召更多的家庭都能做到节约用水。
4、辅导学生将活动中的感悟撰写成科学小论文或调查报告。
5、表扬节水活动中做得好的学生及家庭，相互交流经验，鼓励大家坚持下去。
6、制定新一轮的研究计划。
五、预期的成果：
1、使学生初步掌握节约用水的方法，知道节约用水不仅可以减少家庭开支，更重要的是节约资源。
2、使学生会收集整理资料
3,、能够增强学生的节约用水意识，主动参与意识，保护环境从我做起。
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、
直线和平面垂直的判定与性质
（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．直线和平面垂直的性质定理． 2．点到平面的距离． 3．直线和平面的距离．
（二）能力训练点
1．掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题． 2．掌握用反证法证明命题．
（三）德育渗透点
通过例题2的学习向学生渗透转化的思想和化归的解题意识．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：
（1）掌握直线和平面垂直的性质定理： 若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
（2）掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义．
2．教学难点：性质定理证明中反证法的学习和掌握，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法．
3．教学疑点：设计一个综合题，引导学生思考点到平面的距离和直线到平面的距离问题的互化．
三、课时安排
本课题共安排2课时，本节课为、
五、教学步骤
（一）温故知新，引入课题
师：上节课，我们学习了直线和平面垂直的定义和判定定理，请两个同学来叙述一下定义和判定定理的内容．
生（甲）：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线和这个平面互相垂直．
生（乙）：直线和平面垂直的判定定理是：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
（板书如右）
师：利用判定定理我们还证明了线线平行的性质定理（即例题1），也请一个同学叙述一下．
生（丙）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
（板书）若a∥b，a⊥α则b⊥α．
师：这个用黑体字写成的例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题．
生：若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 师：下面就让我们看看这个命题是否正确？
、
（二）猜想推测，激发兴趣
教师写出已知条件并画出图形，作探讨性证明 已知：a⊥α， b⊥α（如图1-73） 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．
我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．
师：您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？ 生：否定结论→推出矛盾→肯定结论
师：、
经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α是不可能的． 因此，a∥b． 由此，我们得到：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 师：这就是直线和平面垂直的性质定理；
师：学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
（四）初步运用，提高能力 1．例题2
已知：一条直线l和一个平面α平行．求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线l上任意取两点A、B，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可．
证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA
1、BB1，垂足分别为A
1、B1
∵ AA1⊥α，BB1⊥α，
∴ AA1∥BB1（直线与平面垂直的性质定理）． 设经过直线AA1和BB1的平面为β， β∩α＝A1B1．
、
∵ l∥α，∴ l∥A1B1．
∴ AA1=BB1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等． 师：我们再来学习直线和平面的距离的定义：
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
师：本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题．这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法．
2．思考
安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？ 生：只要两条吊线等长． 师：转化为数学模型是，
如图1-76已知：直线l上A、B两点到平面α的距离相等，求证：l∥α．
师：本题仿照例题2方法很容易证明，但以下的论述却是假命题，你知道是为什么吗？
直线l上A、B两点到平面α的距离相等，那么l∥α．
3．如图1-77，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
、
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：、
六、布置作业
已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
（1）点C′到平面ABED的距离； （2）C′到边AB的距离； （3）C′到AD的距离． 参考答案：
（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，则C′H⊥AB，
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第二十三教时
教材： 充要条件(1)
目的： 通过实例要求学生理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够初步判断给定的两个命题之间的关系。 过程：
一、复习：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
1) 若x>0则x2>0；2) 若两个三角形全等，则两三角形的面积相等；
3) 等腰三角形两底角相等； 4) 若x2=y2则 x=y。
（解答略）
二、给出推断符号，紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义
1．由上例一： 由x>0，经过推理可得出x2>0
记作：x>0 ? x2>0表示x>0是x2>0的充分条件
即： 只要x>0成立 x2>0就一定成立x>0蕴含着x2>0；
同样表示：x2>0是x>0的必要条件。
一般：若p则q, 记作p?q 其中p是q的充分条件, q是p的必要条件
显然：x2>0 x>0 我们说x2>0不是x>0的充分条件
x>0也不是x2>0的必要条件
由上例二： 两个三角形全等 ? 两个三角形面积相等
显然, 逆命题两个三角形面积相等两个三角形全等
∴我们说： 两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件
两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
由上例三： 三角形为等腰三角形 ? 三角形两底角相等
我们说三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条件，这种既充分又必要条件，称为充要条件。由上例四：显然 x2=y2 ?x=y
x2=y2 是x=y的必要不充分条件；x=y 是x2=y2的充分不必要条件。
三、小结： 要判断两个命题之间的关系，关键是用什么样的推断符号把两个命题联结起来。
四、例一：（课本P34例一）
例二：（课本P35-36 例二）
练习 P35、P36
五、作业：P36-37习题
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第二十五教时
教材：简易逻辑、四种命题、反证法、充要条件；《教学与测试》
11、
12、13课 目的：复习上述教学内容，要求学生对有关知识的掌握更加牢固，理解更加深刻。 过程：
一、复习：
1、简易逻辑：(1) 命题的概念 — 能判断真假
(2) 逻辑联结词及复合命题：“或”、“且”、“非”
(3) 复合命题的真假 — 真值表， 简单复合命题的否定
2、四种命题：(1) 四种命题 — 原命题、逆命题、否命题、逆否命题
(2) 四种命题的关系：互逆、互否、互为逆否及其真假
3、反证法： 步骤及如何导出“矛盾”
4、充要条件：(1) 有关意义：充分条件，必要条件，充要条件 — 强调利用推断符号
(2) 充要条件与四种命题的关系
二、处理《教学与测试》第11课 P21-22
口答为主
例一：主要强调“命题”的意义
例二：首先要写出三种简单复合形式，然后判断其真假。 例三：注意训练将常用的命题“改写”成三种不同形式以利解题
三、处理《教学与测试》第12课 P23-24
例一：注意命题的否定形式，尤其是简单复合命题的否定形式。
例二：强调由原命题写出其他三种命题。 例三：突出反证法的步骤及注意事项。
四、处理《教学与测试》第13课 P25-26
例一：要能利用推断符号判断充分条件，必要条件和充要条件。
例二：突出三个（或以上）命题的充要条件的判断方法。
例三：体现充要条件的应用。
五、作业：上述三课中余下部分（其中相当的部分可做在书上）
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高中数学系列教案
选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
陈
敏
江苏省海门中学数学教研室
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第一章 集合与逻辑用语（14学时） ........................................................................................................2 第二章
不等式（10学时） ......................................................................................................................3 第三章 函数（20学时） ............................................................................................................................4 第四章 三角函数 （5学时） ....................................................................................................................6 总复习（7学时） ........................................................................................................................................6
1
第一章 集合与逻辑用语（14学时）
教学目的：
1.从学生熟悉的例子引出集合的概念，理解空集和全集的意义，通过描述集合的概念使学生掌握集合的确定性、互异性和无序性，掌握集合的列举法和描述法；
2.使学生熟悉掌握集合与集合之间的三种关系，理解子集、真子集，会用符号表示元素与集合，集合与集合的关系，集合的三种运算，理解交集、并集和补集；
3.使学生熟悉掌握逻辑用语，命题的概念，懂得用“且”“或”“非”连接而成的复合命题的真值的判定，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义。
教学重点、难点：本章重点是集合与集合之间的三种关系，集合的三种运算，充分条件和必要条件，难点是“p或q” “p且q” “非p”的真值的判定。
教学时数：14学时
教学方法：系统讲授与启发法相结合
一、导入新课
从学生熟悉的例子引出集合的概念，使学生认识到掌握集合的重要性。
二、讲授新课
从学生熟悉的例子引出集合的概念，通过描述集合的概念使学生掌握集合的确定性、互异性和无序性，掌握集合的列举法和描述法。集合与集合之间的三种关系，包含于、真包含于和相等；讲解空集和全集的意义，子集、真子集的关系，集合的三种运算，交集、并集和补集的文氏图表示；逻辑用语，命题的概念，介绍判断命题真假的方法，从命题p和命题q的真值去判断“p或q” “p且q” “非p”的真值，讲解充分条件、必要条件和充要条件的意义。
2
第二章
不等式（10学时）
教学目的：
1.使学生了解不等式的性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形；
2.理解不等式解集的概念，理解区间的概念，要求学生用区间表示不等式的解集； 3.在复习总结一元一次不等式的解法的基础上，掌握一元一次不等式组的解法； 4.理解一元二次不等式的概念，理解并掌握一元二次不等式的求解过程，会求一元二次不等式的解集；
5.理解分式不等式的概念，会解简单的分式不等式；
6.理解绝对值的几何意义，掌握含有绝对值的不等式的解法。
教学重点、难点：本章重点是一元一次不等式组的解法，一元二次不等式的求解过程，分式不等式的求解，含有绝对值的不等式的解法，难点是区间的概念，解一元二次不等式的分解因式法。
教学时数：10学时
教学方法：系统讲授与启发法相结合
一、复习引新 浏览复习上次授课内容。
二、讲授新课
在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系。它们在数学研究和数学应用中起着重要作用。这抽象出实数集R的一条重要性质：任何两个实数都可以比较大小。由此产生了不等式，不等式在研究客观世界的数量关系中起着重要的作用。不等式是数学的基础内容之一，在研究函数的定义域、单调性、最大最小值问题以及研究数列和函数的极限问题，描述平面上的区域问题，线性规划，优化问题等等都要运用不等式的知识。详细讲解不等式的性质、不等式的解集与区间、不等式组的解法、一元二次不等式、分式不等式的解法、含有绝对值的不等式、本章小结和复习题二。
3
第三章 函数（20学时）
教学目的：
1.使学生了解映射的概念；
2.理解函数的概念，了解函数的三种表示法，理解分段函数的定义及表示法； 3.掌握一元二次函数的性质及其图像，掌握解一元二次不等式与一元二次函数之间的关系；
4.了解反函数的概念，掌握简单函数的反函数的求法，了解函数y=f(x)的图像与它的反函数y=f-1(x)的图像之间的关系；
5.理解函数的单调性和奇偶性；
6.了解n次根式的概念，理解分数指数幂的概念； 7.了解实数指数幂的概念，理解实数指数幂的运算法则； 8.了解几个常见幂函数的图像和性质；
9.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质； 10.了解指数函数在实际问题中的应用，指数增长和指数衰减； 11.理解对数的概念，掌握对数的性质；
12.理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质，掌握积、商、幂的对数公式；
13.会用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式； 14．了解函数的实际应用。
教学重点、难点：本章重点映射的概念，函数的概念和图像，函数的单调性、奇偶性，实数指数幂的运算法则，幂函数的性质和图像，指数函数的性质和图像，对数的概念，对数的计算，对数函数的图像和性质，积、商、幂的对数公式，待定系数法。 难点是映射的概念，分段函数的图像以及分段函数的实际应用，反函数的概念，分数指数幂的概念，对数的概念，指数函数与对数函数的应用，函数的实际应用。
教学时数：20学时
教学方法：系统讲授与谈论法相结合
一、复习引新
浏览复习上次授课内容。 二、讲授新课
4
本章教材共分三部分，第一部分为函数，第二部分是函数的性质，第三部分是指数与指数函数，对数与对数函数。
现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时另一个量随着起变化，函数是研究各个量之间确定性依赖关系的数学模型，在工业革命时代，函数是数学中最基本的概念之一。映射作为日常生活中许多现象的抽象，能更好的理解函数的概念，反函数的概念。函数的图像是数形结合的基础，要让学生理解函数的图像的意义。
由函数的图形引出奇函数和偶函数的概念。
运用映射的观点阐述反函数的概念，给出反函数的求法。
为了解决实际生活中呈指数增长的量的倍增期，和呈指数衰减的量的半衰期的问题，需要对数函数。
将指数概念加以推广，从整数指数幂推广到有理数指数幂，进一步推广到实数指数幂，并且需要实数指数幂的运算法则。
待定系数法是数学中的一种重要方法，要使学生会用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式。
5
第四章 三角函数 （5学时）
教学目的：
1.使学生理解角的概念的推广，理解弧度的意义，会进行弧度和角度的换算； 2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，了解余切函数、正割函数、余割函数的定义，掌握特殊角度的三角函数值。掌握同角三角函数的基本关系。 教学重点、难点：本章重点是三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式。 教学时数：5学时
教学方法：系统讲授与启发法相结合 一、复习引新
浏览复习上次授课内容。 二、讲授新课
详细讲解角的概念、弧度制、三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式
总复习（7学时）
高中数学教案模板样式共13
集合与集合的表示方法
(详案) 系别: 专业: 学号: 姓名:
数学科学学院
数学与应用数学 刘晓程
一、教学目标
1.知识与技能目标
1．切实理解、掌握集合的定义．
2．正确判定元素与集合的关系，熟练使用符号，理解集合中元素的涵义．
3．掌握几种常用数集、熟练掌握集合的表示方法
2.过程与方法目标
引导学生通过观察、归纳、猜想、验证，对具体情境中的数学信息作出合理的解释，能用集合来描述事物的数学关系，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标
（1）通过形象生动的例子来陶冶学生的情操；
（2）通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
二、教学重点、难点与关键
教学重点：集合与集合的性质
教学难点：集合与集合的性质
教学关键：集合的表示方法
三、教学方法
本节课采用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对集合的全面的体验和理解。在确定集合的性质和寻求生活实例中的集合的过程中，引导学生观察、比较、分析和概括，以小组讨论的形式，进行合作探究．
四、教学过程
一、提出问题、引入新课
1、请写出小于10的自然数；（0、
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、9）
2、请写出小于9的偶数。
（
2、
4、
6、8）
二、开始新课
一、集合的与元素的定义
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
练习1：下列指定的对象中，能构成一个集合的是（124）
1、你所在的班级中，体重超过60kg的学生的全体；
2、大于5的自然数全体；
3、班级里性格开朗的女生的全体；
4、英语字母的全体；
5、与1接近的实数的全体。
二、集合、元素的表示：
集合通常用英文大写字母A、B、C···来表示，它们的元素通常用英文小写字母a、b、c···来表示。
三、集合与元素的关系：
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a?A，读作“a属于A”；反之，如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A，读作“a不属于A”。
例如：A表示方程X=1的解的集合，则1?A，2?A
四、集合中元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。
如：x?A或x?A必居其一
（2）互异性：集合的元素必须是互异或不相同的。
如：方程x—2x+1=0的解集为{1}而非{1，1} （3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的。
如：{1，2}，{2，1}为同一集合
五、集合的分类：
根据含有的元素的个数分为：有限集和无限集
问题：我们看这样一个集合：
{x│x?x?1?0}它有什么特征？
显然这个集合没有任何元素，我们把这样的集合叫做空集，记作φ。 练习2.（1）0---?---φ （2）{0}---?---φ 重要的特定数集：
非负整数集（自然数集）：N={0，1，2，3，4?}；
正整数集：N?或N*={1，2，3，4，?}；
整数集：Z．
有理数集：Q；
实数集：R； 2
六、集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．
注意：用列举法表示集合时，列出的元素要求不遗漏，不增加，不重复，但与元素的列出顺序无关。
例如：?A={x?N│0
2述集合的方法．（常用于表示无限集），一般格式如下： {××××∣××××××××} ↑ ↑ ↑
该集合中的 分隔号 这些元素具有什么共同
元素是什么 性质、特征或表达式？
例如：?{-1，1}； {x│x=1} ?大于3的全体偶数构成的集合； {x│x>3, 且x=2n,n?N}
练习3：用列举法表示下列集合：
1．大于并且小于的自然数的集合： 2．15的正因数的集合：
3．绝对值等于2的整数的集合： 用描述法表示下列集合：
1．绝对值等于5的实数的全体构成的集合： 2．不小于-2的全体实数的全体构成的集合： 3．梯形的全体构成的集合：
课堂小结：
1.集合的定义及其元素 2.集合、元素的表示 3.集合与元素的关系 4.集合元素的性质 5.集合的分类 6.集合的表示方法
课后作业：
教科书习题第
1、
2、3题
习题第
2、3题
1、使同学们初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法；
2、使同学们初步了解“属于”关系的意义；
3、使同学们初步了解有限集、无限集、空集的意义
高中数学教案模板样式共14
我是来自理科组的数学老师周桂宇，今天我要进行说课的课题是高中数学必修一第一章第三节第一课时《函数单调性与最大（小）值》。首先我们先初步了解下高一数学整体的情况，从量上看，高一数学任务很重，高一上学期我们将要学，必修一全部内容，必修四第一章，高一下学期学必修四剩下内容，必修五全部内容，必修二其中几章；从质上看，好多同学才一接触到高一数学就觉得很难，难度并不在于知识点的深度和综合能力，而在于从初中相对具体形象的数学学习一下进入高中抽象的，与生活似乎关系不大的学习，很多同学表现出非常大不适应。因此，如果觉得高一数学“难”，复习的重点，应当放在分析为什么自己觉得学习过的知识点“难”上。
难点一：抽象函数
f（x）规则的含义虽然看起来简单，但如果理解不深刻，对于后面的解题有很大的影响。
难点二：三角函数
这一部分的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。题目做到一定程度，其实很容易发现，高一考察的三角恒等只有不多的几种题型，在课程与复习中，我们也会注重给学生总结三角恒等变形的“统一论”，把握住降次，辅助角和万能公式这些关键方法，一般的三角恒等迎刃而解。关键是，一定要多做题。
难点三：向量部分 ,这部分其实是这学期最简单的部分。简单的原因是，以前从来没有学过，初次接触，考试不会太难。这部分的复习也最为轻松——围绕向量的几何表示，代数表示和坐标表示理解向量的各种运算法则。
难点四：综合题型 压轴题基本上，都是以函数一章作为最核心的知识载体，中间掺杂向量和三角的运算。解决这样的题目，方法几乎是固定的，那就是首先利用抽象函数性质，将带有f的条件化为不带有f的条件，然后利用三角与向量的运算化简或证明。非压轴题出题方法可能更自由，但是综合性往往没有太强，仍然属于各个板块内的综合。
对于本次课我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法；教学过程；教学评价五个方面来陈述我对本节课的设计方案。恳请在座的专家评委批评指正
一、教材分析
函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．
根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标： 知识与技能 使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法； 过程与方法 引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
情感态度与价值观 在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度． 根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．
二、教法学法
为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．
在学法上我重视了：
1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
三、教学过程
函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．
（一）创设情境，提出问题
（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：
[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：
问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．
（二）探究发现 建构概念
[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．
[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8
在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：
问题3:对于任意的t
1、t2∈[4，16]时，当t1 [学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．
[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当
时，都有 ”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：
问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？ 最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．
2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？
[教师活动]问题6：证明
[学生活动]步骤：取值
在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．
作差变形
定号
判断．
[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．
（四）回顾反思深化概念
[教师活动]给出一组题：
1、定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么函数f(x)是R上的单调增函数还是单调减函数？
2、若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1+a) 的取值范围吗？
[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.
[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.
[教师活动]作业布置：
（1）阅读课本P34－35例2
四、教学评价
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础
高中数学教案模板样式共15
高中数学
必修1 第一章 集合与函数概念
1．1 集合
1．2 函数及其表示
1．3 函数的基本性质
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2．1 指数函数
2．2 对数函数
2．3 幂函数
第三章 函数的应用
3．1 函数与方程
3．2 函数模型及其应用
必修2 第一章 空间几何体
1．1 空间几何体的结构
1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．3 空间几何体的表面积与体积
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．2 直线、平面平行的判定及其性质
2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章 直线与方程
3．1 直线的倾斜角与斜率
3．2 直线的方程
3．3 直线的交点坐标与距离公式
第四章 圆与方程
4．1 圆的方程
4．2 直线、圆的位置关系
4．3 空间直角坐标系
必修3 第一章 算法初步
1．1 算法与程序框图
1．2 基本算法语句
1．3 算法案例
阅读与思考 割圆术
第二章 统计
2．1 随机抽样
阅读与思考 一个著名的案例
阅读与思考 广告中数据的可靠性
阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应
2．2 用样本估计总体
阅读与思考 生产过程中的质量控制图
2．3 变量间的相关关系
阅读与思考 相关关系的强与弱
第三章 概率
3．1 随机事件的概率
阅读与思考 天气变化的认识过程
3．2 古典概型
3．3 几何概型
必修4
第一章 三角函数
1．1 任意角和弧度制
1．2 任意角的三角函数
1．3 三角函数的诱导公式
1．4 三角函数的图象与性质
1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）
1．6 三角函数模型的简单应用
第二章 平面向量
2．1 平面向量的实际背景及基本概念
2．2 平面向量的线性运算
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．4 平面向量的数量积
2．5 平面向量应用举例
第三章 三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．2 简单的三角恒等变换
必修5
第一章 解三角形
1．1 正弦定理和余弦定理
探究与发现 解三角形的进一步讨论
1．2 应用举例
阅读与思考 海伦和秦九韶
1．3 实习作业
第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法
阅读与思考 斐波那契数列
阅读与思考 估计根号下2的值
2．2 等差数列
2．3 等差数列的前n项和
2．4 等比数列
2．5 等比数列前n项和
阅读与思考 九连环
探究与发现 购房中的数学
第三章 不等式
3．1 不等关系与不等式
3．2 一元二次不等式及其解法
3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
阅读与思考 错在哪儿
信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例
3．4 基本不等式
选修1－1 第一章 常用逻辑用语
1．1 命题及其关系
1．2 充分条件与必要条件
1．3 简单的逻辑联结词
1．4 全称量词与存在量词
第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭圆
探究与发现 为什么截口曲线是椭圆
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
2．2 双曲线
2．3 抛物线
阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用
第三章 导数及其应用
3．1 变化率与导数
3．2 导数的计算
探究与发现 牛顿法──用导数方法求方程的近似解
3．3 导数在研究函数中的应用
信息技术应用 图形技术与函数性质
3．4 生活中的优化问题举例
实习作业 走进微积分
选修1－2
第一章 统计案例
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎证明
阅读与思考 科学发现中的推理
2．2 直接证明与间接证明
第三章 数系的扩充与复数的引入
3．1 数系的扩充和复数的概念
3．2 复数代数形式的四则运算
第四章 框图
4．1 流程图
4．2 结构图
信息技术应用 用Word2002绘制流程图
数学 选修2-1
第一章 常用逻辑用语
命题及其关系
充分条件与必要条件
简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
第二章 圆锥曲线与方程
曲线与方程
椭圆
探究与发现 为什么截口曲线是椭圆
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
双曲线
探究与发现
抛物线
探究与发现
阅读与思考 第三章 空间向量与立体几何
空间向量及其运算
阅读与思考 向量概念的推广与应用
立体几何中的向量方法
选修 2-2 第一章 导数及其应用
变化率与导数
导数的计算
第三章 统计案例
回归分析的基本思想及其初步应用
独立性检验的基本思想及其初步应用
选修3-1
第一讲 早期的算术与几何
一 古埃及的数学
二 两河流域的数学
导数在研究函数中的应用
三
生活中的优化问题举例
第二讲
定积分的概念
一
微积分基本定理
二
定积分的简单应用
三 第二章 推理与证明
四
合情推理与演绎推理
第三讲
直接证明与间接证明
一
数学归纳法
二 第三章 数系的扩充与复数的引入
三
数系的扩充和复数的概念
四 复数代数形式的四则运算
第四讲
一 选修2-3
二 第一章 计数原理
三
分类加法计数原理与分步乘法计数
四 原理
第五讲
探究与发现 子集的个数有多少
一
排列与组合
二
探究与发现 组合数的两个性质
三
二项式定理
第六讲
探究与发现 “杨辉三角”中的一些
一 秘密
二 第二章 随机变量及其分布
第七讲
离散型随机变量及其分布列
一
二项分布及其应用
二
探究与发现 服从二项分布的随机变
三 量取何值时概率最大
四
离散型随机变量的均值与方差
第八讲
正态分布
一
信息技术应用 μ，σ对正态分布的影
二 响
三
丰富多彩的记数制度
古希腊数学
希腊数学的先行者
毕达哥拉斯学派
欧几里得与《原本》
数学之神──阿基米德
中国古代数学瑰宝
《周髀算经》与赵爽弦图
《九章算术》
大衍求一术
中国古代数学家
平面解析几何的产生 坐标思想的早期萌芽
笛卡儿坐标系
费马的解析几何思想
解析几何的进一步发展
微积分的诞生
微积分产生的历史背景
科学巨人牛顿的工作
莱布尼茨的“微积分” 近代数学两巨星
分析的化身──欧拉
数学王子──高斯
千古谜题
三次、四次方程求根公式的发现
高次方程可解性问题的解决
伽罗瓦与群论
古希腊三大几何问题的解决
对无穷的深入思考 古代的无穷观念
无穷集合论的创立
集合论的进一步发展与完善 第九讲 中国现代数学的开拓与发展
一 中国现代数学发展概观
二 人民的数学家──华罗庚
三 当代几何大师──陈省身
选修3-3 引言
第一讲 从欧氏几何看球面
一 平面与球面的位置关系
二 直线与球面的位置关系和球幂定理
三 球面的对称性
第二讲 球面上的距离和角
一 球面上的距离
二 球面上的角
思考题
第三讲 球面上的基本图形
一 极与赤道
二 球面二角形
三 球面三角形
1．球面三角形
2．三面角
3．对顶三角形
4．球极三角形
思考题
第四讲 球面三角形
一 球面三角形三边之间的关系
二、球面“等腰”三角形
三 球面三角形的周长
四 球面三角形的内角和
思考题
第五讲 球面三角形的全等
1．“边边边”()判定定理
2．“边角边”()判定定理
3．“角边角”()判定定理
4．“角角角”()判定定理
思考题
第六讲 球面多边形与欧拉公式
一 球面多边形及其内角和公式
二 简单多面体的欧拉公式
三 用球面多边形的内角和公式证明欧
拉公式
思考题
第七讲 球面三角形的边角关系
一 球面上的正弦定理和余弦定理
二 用向量方法证明球面上的余弦定理
1．向量的向量积
2．球面上余弦定理的向量证明
三 从球面上的正弦定理看球面与平面
四 球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离
思考题
第八讲 欧氏几何与非欧几何
一 平面几何与球面几何的比较
二 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
三 欧氏几何与非欧几何的意义
阅读与思考 非欧几何简史
选修3-4 引言
第一讲 平面图形的对称群
一 平面刚体运动
1．平面刚体运动的定义
2．平面刚体运动的性质
思考题
二 对称变换
1．对称变换的定义
2．正多边形的对称变换
3．对称变换的合成
4．对称变换的性质
5．对称变换的逆变换
思考题
三 平面图形的对称群
思考题
第二讲 代数学中的对称与抽象群的概念
一 n元对称群Sn
思考题
二 多项式的对称变换
思考题
三 抽象群的概念
1．群的一般概念
2．直积
思考题
第三讲 对称与群的故事
一 带饰和面饰
思考题
二 化学分子的对称群
三 晶体的分类
四 伽罗瓦理论
选修4-1 第一讲 相似三角形的判定及有关性质
一 平行线等分线段定理
二 平行线分线段成比例定理
三 相似三角形的判定及性质
1．相似三角形的判定
2．相似三角形的性质
四 直角三角形的射影定理
第二讲 直线与圆的位置关系
一 圆周角定理
二 圆内接四边形的性质与判定定理
三 圆的切线的性质及判定定理
四 弦切角的性质
五 与圆有关的比例线段
第三讲 圆锥曲线性质的探讨
一 平行射影
二 平面与圆柱面的截线
三 平面与圆锥面的截线
选修 4-2 引言
第一讲 线性变换与二阶矩阵
一 线性变换与二阶矩阵
（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵
1.旋转变换
2.反射变换
3.伸缩变换
4.投影变换
5.切变变换
（二）变换、矩阵的相等
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用
第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法
一 复合变换与二阶矩阵的乘法
二 矩阵乘法的性质
第三讲 逆变换与逆矩阵
一 逆变换与逆矩阵
1.逆变换与逆矩阵
2.逆矩阵的性质
二 二阶行列式与逆矩阵
三 逆矩阵与二元一次方程组
1.二元一次方程组的矩阵形式
2.逆矩阵与二元一次方程组
第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量
一 变换的不变量——矩阵的特征向量
1.特征值与特征向量
2.特征值与特征向量的计算
二 特征向量的应用
1.Ａa的简单表示
2.特征向量在实际问题中的应用
学习总结报告
选修4-4 引言
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
二 极坐标系
三 简单曲线的极坐标方程
四 柱坐标系与球坐标系简介
第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程
二 圆锥曲线的参数方程
三 直线的参数方程
四 渐开线与摆线
学习总结报告
选修4-5 引言
第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本性质
2.基本不等式
3.三个正数的算术-几何平均不等式
第四讲 数伦在密码中的应用
二 绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
2.绝对值不等式的解法
第二讲 讲明不等式的基本方法
一 比较法
二 综合法与分析法
三 反证法与放缩法
第三讲 柯西不等式与排序不等式
一 二维形式柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式
三 排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
二 用数学归纳法证明不等式
学习总结报告
选修4-6 引言
第一讲 整数的整除
一 整除
1.整除的概念和性质
2.带余除法
3.素数及其判别法
二 最大公因数与最小公倍数
1.最大公因数
2.最小公倍数
三 算术基本定理
第二讲 同余与同余方程
一 同余
1.同余的概念
2.同余的性质
二 剩余类及其运算
三 费马小定理和欧拉定理
四 一次同余方程
五 拉格朗日插值法和孙子定理
六 弃九验算法
第三讲 一次不定方程
一 二元一次不定方程
二 二元一次不定方程的特解
三 多元一次不定方程
一 信息的加密与去密
二 大数分解和公开密钥
学习总结报告
附录一 剩余系和欧拉函数
附录二 多项式的整除性
选修4-7 引言
第一讲 优选法
一 什么叫优选法
二 单峰函数
三 黄金分割法——法
1.黄金分割常数
2.黄金分割法——法
阅读与思考 黄金分割研究简史
四 分数法
1.分数法
阅读与思考 斐波那契数列和黄金分割
2.分数法的最优性
五 其他几种常用的优越法
1.对分法
2.盲人爬山法
3.分批试验法
4.多峰的情形
六 多因素方法
1.纵横对折法和从好点出发法
2.平行线法
3.双因素盲人爬山法
第二讲 试验设计初步
一 正交试验设计法
1.正交表
2.正交试验设计
3.试验结果的分析
4.正交表的特性
二 正交试验的应用
学习总结报告
附录一
附录二
附录三
6
选修4-9 引言
第一讲 风险与决策的基本概念
一 风险与决策的关系
二 风险与决策的基本概念
1.风险（平均损失）
2.平均收益
3.损益矩阵
4.风险型决策
探究与发现 风险相差不大时该如何决策
第二讲 决策树方法
第三讲 风险型决策的敏感性分析
第四讲 马尔可夫型决策简介
一 马尔可夫链简介
1.马尔可夫性与马尔可夫链
2.转移概率与转移概率矩阵
二 马尔可夫型决策简介
三 长期准则下的马尔可夫型决策理论
1.马尔可夫链的平稳分布
2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则
3.平稳准则的应用案例
学习总结报告
附录
高中数学教案模板样式共16
高中数学教案全集
第三章教案0
戴亨钊
张青春
一、考纲要求： 1.事件与概率
（1） 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。
（2） 了解两个互斥事件的概率加法公式。 2.古典概型
（1） 理解古典概型及其概率计算公式。
（2） 会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。 3.随机数与几何概型
（1） 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 （2） 了解几何概型的意义。
二、命题趋势
由于概率统计知识与实际生活密切相关，预计在以后的高考题中将越来越受重视，除以传统的选择题，填空题出现外，解答题也会出现。在实际应用于求概率等问题，主要考查学生的动手能力，分析能力及对基础知识的运用能力。
高考中本章试题难度不大，但考试遇到新题时大多数同学觉得很困难，所以，平时应该把常见的各种题型都练习到，各种类型的解法都掌握住，考试时以不变应万变。
（1） 以中低难度为主，在复习中主要以基础知识的内容为主，不应做偏题，难题。 （2） 把古典概型和几何概型作为复习的重点。
（3） 应注意培养自身利用概率知识对实际问题进行分析的能力。
三、基础知识，点式突破 知识点1 随机现象 （1） 随机现象 ① 必然现象：在一定条件下必然发生的现象。如“地球每天绕太阳转动”为必然现象。 ② 随机现象：在一定条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同。如“某射击运动员每一次射击命中的环数”为随机现象。
（2） 实验及实验结果
为了探索随机现象的规律性，需要对随机现象进行观察，我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为实验。把观察结果或实验结果称为实验结果。
（3） 随机试验
条件每实现一次，叫做进行一次实验，如果实验结果事先无法确定，并且可以重复进行，这种实验就叫做随机实验。如“从盛有3个排球，2个足球的框子里任取一球，取得排球的事件中，取出一球（不管是排球还是足球）就是一次实验。若把5个球全部取出，则做了5次试验。
知识点2
事件与基本事件空间
（1） 必然事件：我们把在条件S下，一定会发的事件，叫做相对于条件S的必然事件。简称必然事件。
比如，“导体通电时发热”，“抛一石块，下落”等都是必然事件。
（2） 不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条S的不可能事件，简称不可能事件。必然“在标准大气压下温度低于0冰融化”，在常温常压下，铁融化“等都是不可能事件。
（3） 确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。 （4） 随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件的随机事件，简称随机事件。 比如：“李强射击一次，不中靶”，“掷一枚银币出现反面”都是随机事件。
注意：要搞清楚随机现象和随机事件之间的关系。随机现象是随机事件产生的原因，随机事件是随机现象的可能结果，是随机现象的反映。
（5） 事件及其表示方法：确定事件和随机事件称为事件，一般用大写字母A,B,C表示。 （6） 基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用他们来表示，这样
的事件称为基本事件。
（7） 基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用?表示 知识点3 频率与概率 1.频率与概率
（1） 频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=率
（2） 概率及其记法：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（3） 频率与概率的区别与联系 ① 频率本身是随机的，在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
② 概率是一个确定的数，与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量。 ③ 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。 2随机事件的概率P(A)的范围
对于任何事件的概率的范围是：0≤P（A）≤1 其中不可能事件的概率是P（A）=0，必然事件的概率是P（A）=1 不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况 知识点4 概率的加法公式 （1） 互斥事件 ① 定义：不可能同时发生的两个事件即事件A发生，事件B不发生；事件B发生，事件A不发生叫做互斥事件（或称不相容事件）
② 从集合角度看，记事件A为集合A，事件B为集合B,若事件A与事件B是互斥事件，则集合A与集合B 交集为空集。
③ 推广：如果事件A1,A2，
An中任何两个都互斥，就称事件A1,A2，
An彼此互斥。从集合角度看n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此互斥，
（2） 对立事件 ① 定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作
nA为事件A出现的概nA
② 从集合的角度看，A和A所含结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合，这时A和
?????A的交集是不可能事件，A和A的并集是必然事件，即A?A= ?, A?A??
（3） 互斥事件与对立事件的区别与联系 ① 两个对立事件一定是互斥事件，反之两个互斥事件不一定是对立事件。 ② 两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件 ③ 两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。 （4） 事件的并（或和） ① 定义：由事件A和B至少有一个发生（即A发生或B发生或A,B都发生，称为事件A与B的并（或和）记作C?A?B
② 事件A与事件B的并集等于事件B与事件A的并集，即A?B=B?A ③ 并事件有三层含义：事件A发生，事件B不发生；事件B发生，事件A不发生；事件A与事件B都发生。
④ 事件A与B的并集A?B可推广如下：“A1?A2???An”表示这样一个事件：在同一实验中：A1,A2,?,An中至少有一个发生，即表示A1?A2???An发生。
（5） 互斥事件的概率加法公式 ?
如果事件A,B互斥，那么A?B发生（即A，B中至少有一个发生）的概率等于事件A,B分别发生的概率的和，即P（A?B）=P(A)+P(B)
① 一般地，如果事件A1,A2,?,An两两互斥（彼此互斥）那么时事件“A1?A2???An”发生（是指A1,A2,?,An至少有一个发生）的概率，等于这n个事件发生的概率和，即P(A1?A2???An)=P(A1)?P(A2)??P(An)
② 对立事件的概率公式
若事件A与B互为对立事件，则A?B为必然事件，所以P（A?B）=1，又 P（A?B）=P(A)+P(B)，所以P(A)=1- P(B) [说明] a.公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式。
b.当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率。
（6）概率的一般加法公式 ①交（积）事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B交事件(或称积事件)，记作A?B(或AB) a.用集合形式表示；
b.事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A?B=B?A ②概率的一般加法公式
设A,B是?的两个事件，则P(A?B)?P(A)?P(A)?P(A?B) 知识点5
古典概型 1.基本事件及其特点 （1） 基本事件的定义
实验结果是有限个，且每个事件都是随机事件的事件，称为基本事件。
注意： ①基本事件是实验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用他们来表示；
②所以的基本事件都有有限个； ③每个基本事件的发生都是等可能的
（2） 基本事件的特点 ① 任何两个基本事件是互斥的 ② 任何事件都可以表示成基本事件的和 2.古典概型 （1） 古典概型的定义
我们把具有：①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
（2） 古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是： ① 有限性，在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本条件。 ② 等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的 [说明]
一个实验是否为古典概型，在于这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性。并不是所有的实验都是古典概型。
（3） 古典概率模型的概率求法
如果一次实验中的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)=
1，nm n知识点6
几何概型 （1） 几何概型的概念
事件A理解为区域?的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的实验称为几何概型。
注意：①古典概型适用于所有实验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于实验结果是无穷多的情形。
③ 几何概型的特征：每个实验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；每次试验结果的各种结果是等可能的
（2） 几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)=
?A??，其中??表示区域?的几何度量，?A表示子区域A的几何度量。
（3） 古典概型与几何概型的区别
古典概型与几何概型要求基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求事件有无限多个。
四
例题分析
【例题1 】
（1）单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案，如果考生掌握了考查内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机选择一个答案，问他答对的概率是多少？
（2）国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
【分析】（1）中考生随机地选择一个答案是指选择A、B、C、D的可能性是相等的，且实验的可能结果只有4；选择A、选择B、选择C、选择D，基本事件共有4，是有限个，故该实验是古典概型，基本事件个数为4个，答对只有一种结果，即m=1,n=4，可利用古典概率公式
m，求出事件的n概率。
（2）中工作人员在0min到30min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，且按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间长度有关，故该实验是几何概型。工作人员在0s-30s内任一时刻按错键，则含有犯罪内容的谈话会被全部擦掉，若在30s-40s内任一时刻按错键，则含有犯罪内容的谈话被部分擦掉，所以所求事件占的长度为40s，即2?min，而整个长度为30min，可利用几何概型的概率公式P(A)= A，求得事件的概率。 3??答对所包含的基本事件的个数1==； 44【解析】（1）有古典概型的概率计算公式得： P(答对)= （2）设事件A“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A发生就是在0min到
2min32?时间段内按错键，所以?A=min，??=30min，P(A)= A=
3??23= 1
45【答】（1）考生答对的概率为；(2)按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为【例题2】（1）向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为，炸中其余两个军火库的概率为，只要炸中其中一个，另外两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率。
（2）甲乙两人各射击一次，命中率各为和，两人同时命中的概率为，求甲乙两人至少有一人命中的概率。
【分析】（1）中投掷的一颗炸弹，只要炸中了其中的一个军火库，其余也要发生爆炸，所以“军火库发生爆炸”这一事件，就是炸中第
一、第
二、第三个军火库这三个事件之和，且它们彼此互斥，
由于是三个彼此互斥事件的并的概率，可利用公P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)求得（2）中至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中这两事件的并事件，但“甲命中”和“乙命中”可能会同时发生不是互斥事件，由于是求两个不互斥事件的概率，可利用一般的概率加法公式P(A?B)?P(A)?P(A)?P(A?B)求得
【解析】（1）设以A、B、C分别表示炸中第
一、第
二、第三个军火库这三个事件，于是
P（A）=,P(B)=P(C)=设D表示军火库爆炸，则有D=A?B?C，由于A、B、C彼此互斥，?P(D)= P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)=++= (2)设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A?B，所以P(A?B)?P(A)?P(A)?P(A?B)=+= 【答】（1）甲乙两人至少有一人命中的概率 （2）甲乙两人至少有一人命中的概率 【例题3 】
同时抛掷两个骰子（各个面上分别标有数1，2，3，4，5，6）求向上的数之积为偶数的概率。
【分析】
每掷一个骰子都有6种情况，同时掷两个骰子总的结果数为n=6×6,由于每个结果出现的可能性都相等，所以是古典概型。关键是求“向上的数之积为偶数”这一事件所包含的结果数m，然后利用P(A)= m，即可求得概率，向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，n即向上的数之积为奇数，向上的数之积为奇数的基本事件有（1，1）
，（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9个，即m=9 【解析】基本事件空间?(x,y)1?x?6,1?y?6,x?N?,y?N??共包含36个基本事件，设“向上的数之积为偶数”为事件A，则A为“向上的数之积为奇数”，A=｛（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）｝共包含9个事件，根据古典概型的概
?1391?,由对立事件的性质知，1-P(A)=1-=
【答】向上的数之积为偶数的概率为
4??率公式可得P(A)??【小结】
在求等可能事件的概率时，一定要先根据事件的个数是否有限，判断该试验是古典概型还是几何概型。①对于古典概型试验概率的计算，关键是分清楚基本事件的个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，在利用公式P(A)=
m求出事件的概率，这是一n个比较直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复，不遗漏；②对于几何概型试验概率的计算，关键是求得事件A所占的区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解。几何概型常用来解决与长度、面积、体积有关的问题。③互斥事件的概率加法公式仅适用于彼此互斥的事件的和（并）事件的概率求解，因此在应用公式之前，应先判断各个事件彼此是否互斥，若不互斥，则需要用一般概率加法公式。④利用对立事件概率公式解题